Lucrul mecanic

Lucrul mecanic este o mărime energetică, care măsoară cu cât ‘efort fizic’ s-a realizat o acțiune mecanică, precum deplasarea, ridicarea sau deformarea unui corp.

Dacă un corp este deplasat pe o distanță d sub acțiunea unei forțe $\vec{F}$ orientată în direcția și în sensul deplasării, spunem că acea forță a efectuat un lucru mecanic:

$L ≝ F \cdot d$

Unitatea de măsură a acestei mărimi fizice în sistemul internațional este:

${⟨ L ⟩}_{SI} = 1 N \cdot m = 1 J$ (Joule)

Astfel, lucrul mecanic are o definiție matematică simplă, precisă și pe baza lui se pot defini alte mărimi energetice, precum și unitatea lor de măsură comună: 1J.

Exemple:

1. Cineva trage un pachet pe o distanță d=10m, aplicând o forță orizontală F=100N. Lucrul mecanic efectuat este L=100N⋅10m=1000J=1kJ.

2. În general, asupra unui corp acționează simultan mai multe forțe. În exemplul următor, un corp are masa m=10kg, se află pe o suprafață plană orizontală, coeficientul de frecare este μ=0.65 și se aplică o forță de tracțiune orizontală $\vec{F}$ de 70N pentru a fi deplasat pe o distanță d=10m. Pe tot parcursul deplasării, acționează 4 forțe:

Putem preciza lucrul mecanic efectuat de fiecare din aceste forțe, dar trebuie să ținem cont că orientarea forței în raport cu direcția deplasării este esențială:

forța	lucrul mecanic	observații
forța de tracțiune $\vec{F}$ (70N)	$L_{F} = F \cdot d = 700 J$	Forța de tracțiune este orientată în direcția și în sensul mișcării, contribuie la deplasare și $L_{F} > 0$ . S-a ales o forță de tracțiune puțin mai mare decât forța de frecare pentru a fi posibilă pornirea de pe loc.
forța de frecare $\vec{F_{f}}$ (65N)	$L_{Ff} = - F_{f} \cdot d = - 650 J$	Forța de frecare este orientată pe direcția mișcării, dar se opune mișcării și $L_{Ff} < 0$ .
forța de greutate $\vec{G}$ (100N)	$L_{G} = 0$	Forța de greutate e perpendiculară pe direcția mișcării, nu contribuie deloc la mișcare, nici nu se opune mișcării și astfel $L_{G} = 0$ .
forța de apăsare normală $\vec{N}$ (100N)	$L_{N} = 0$	Forța de apăsare normală e de asemenea perpendiculară pe direcția mișcării și din același motiv $L_{N} = 0$ .

Regulă pentru calculul lucrului mecanic:

Tratăm deplasarea ca fiind un vector $\vec{d}$ și luăm în considerare orientarea forței $\vec{F}$ în raport cu vectorul de deplasare $\vec{d}$ în 3 cazuri particulare:

	$L = F \cdot d > 0$	$\vec{F}$ este o forță motoare: acționează pe direcția și în sensul deplasării și contribuie la efectuarea deplasării. Lucrul ei mecanic este pozitiv.
	$L = F \cdot d = 0$	$\vec{F}$ acționează perpendicular pe direcția deplasării și nu efectuează lucru mecanic.
	$L = - \| F \cdot d \| < 0$	$\vec{F}$ este o forță de rezistență: acționează pe direcția deplasării, dar în sens opus și se opune la efectuarea deplasării. Lucrul ei mecanic este negativ.

Formula generală a lucrului mecanic

O forță $\vec{F}$ acționează oblic față de direcția deplasării:

Putem descompune această forță în două componente: $\vec{F} = \vec{F_{t}} + \vec{F_{n}}$

	Componenta tangențială a forței pe direcția deplasării $\vec{F_{t}}$ are mărimea $F_{t} = F \cdot \cos (α)$ și efectuează lucrul mecanic: $L_{Ft} = F \cdot d \cdot \cos (α)$
	Componenta normală a forței pe direcția deplasării $\vec{F_{n}}$ are mărimea $F_{t} = F \cdot \sin (α)$ și nu efectuează lucru mecanic: $L_{Fn} = 0$

În concluzie, lucrul mecanic al unei forțe oblice pe direcția deplasării este: $L_{F} = F \cdot d \cdot \cos (α)$

Există și următoarea definiție a lucrului mecanic: $L_{F} ≝ \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos (α)$ , unde $\vec{F} \cdot \vec{d}$ este produsul scalar al vectorilor $\vec{F}$ și $\vec{d}$ .

Problemă:

Un om trage o sanie de masă m=50kg pe o distanță d=1km, pe un drum orizontal, aplicând o forță $\vec{F}$ , la un unghi α față de orizontală. Coeficientul de frecare dintre sanie și zăpadă este μ=0.1. Mișcarea are loc cu viteză constantă.

Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de om, în două cazuri particulare de orientare a forței $\vec{F}$ : orizontală (α=0), respectiv oblică la unghiul α=30°.

Rezolvare: mai întâi trebuie să determinăm mărimea potrivită a forței $\vec{F}$ , astfel încât mișcarea saniei să fie uniformă. Sania se află sub acțiunea mai multor forțe care trebuie să fie în echilibru:

$\vec{F} + \vec{G} + \vec{N} + \vec{F_{f}} = 0$

Descompunem forțele după direcțiile axelor unui sistem de referință:

după axa Ox:	$F_{t} - F_{f} = 0$
după axa Oy:	$F_{n} + N - G = 0$

Scriem expresiile forțelor care intervin:

$G = m \cdot g$ , $F_{f} = μ \cdot N$ , $F_{t} = F \cdot \cos (α)$ , $F_{n} = F \cdot \sin (α)$

și le înlocuim în ecuațiile de mai sus:

	$F \cdot \cos (α) = μ \cdot N$
	$N = m \cdot g - F \cdot \sin (α)$

Rezultă: $F \cdot \cos (α) = μ \cdot (m \cdot g - F \cdot \sin (α)) \Leftrightarrow F \cdot (\cos (α) + μ \cdot \sin (α)) = μ \cdot m \cdot g \Rightarrow F = \frac{μ \cdot m \cdot g}{\cos (α) + μ \cdot \sin (α)}$

Numai componenta tangențială a forței $\vec{F}$ efectuează lucru mecanic:

$L_{F} = F_{t} \cdot d = F \cdot d \cdot \cos (α) = μ \cdot m \cdot g \cdot d \cdot \frac{\cos (α)}{\cos (α) + μ \cdot \sin (α)}$

Calculul numeric:

dacă $α = 0 \Rightarrow \cos (α) = 1, \sin (α) = 0$ și este necesară o forță $F = μ \cdot m \cdot g = 50 N$ , iar lucrul ei mecanic va fi $L_{F} = μ \cdot m \cdot g \cdot d = 50 N \cdot 10^{3} m = 50 kJ$
dacă $α = 30 ° \Rightarrow \cos (α) = \sqrt{3} / 2, \sin (α) = 1 / 2$ , este necesară o forță $F = \frac{50 N}{\sqrt{3} / 2 + 0.1 \cdot 1 / 2} \approx 54.6 N$ , mai mare decât în primul caz, dar lucrul ei mecanic va fi $L_{F} = 50 kJ \cdot \frac{\sqrt{3} / 2}{\sqrt{3} / 2 + 0.1 \cdot 1 / 2} \approx 47.3 kJ$ , mai mic decât în primul caz. Acest paradox se datorează faptului că forța oblică are o componentă verticală care reduce din apăsare, scade frecarea și se reduce puțin efortul deplasării.